Question

20．已知函数f（x）=-2x²+4x　g（x）=log₂（x+1）如果函数y=g[f（x）]在区间[1，m）上是单调递减函数，则m的取值范围是1＜m≤$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意，y=g[f（x）]=log₂（-2x²+4x+1）在区间[1，m）上是单调递减函数，可得t=-2x²+4x+1在区间[1，m）上是单调递减函数，且t＞0，从而m＞1且-2m²+4m+1≥0，由此即可求出m的取值范围．

解答 解：由题意，y=g[f（x）]=log₂（-2x²+4x+1）在区间[1，m）上是单调递减函数，
∴t=-2x²+4x+1在区间[1，m）上是单调递减函数，且t＞0，
∴m＞1且-2m²+4m+1≥0
解得1＜m≤$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$．
故答案为1＜m≤$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了复合函数的单调性，复合函数的单调性满足同增异减的原则，是中档题．