Question

过点M（-1，0）的直线L₁与抛物线y²=4x交于P₁、P₂两点记：线段P₁P₂的中点为P；过点P和这个抛物线的焦点F的直线为L₂；L₁的斜率为k试把直线L₂的斜率与直线L₁的斜率之比表示为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数．

Answer 1

分析：先设直线L₁的方程是y=k（x+1），然后与抛物线方程联立消去y，得到两根之和、两根之积，将直线L₁与该抛物线有两个交点转化为△=（2k²-4）²-4k²•k²＞0且k≠0，进而可得到k的范围，设点P的坐标为(

.

x

，

.

y

)，可以得到直线L₁、直线L₂的斜率，记f(k)=

k2

k1

，则可以得到f(k)=

. x +1

. x -1

，再由

.

x

=

x1+x2

2

=

2-k2

k2

，可以得到f(k)=

1

1-k2

，再分析单调性即可．

解答：解：由已知条件可知，直线L₁的方程是y=k（x+1）①
把①代入抛物线方程y²=4x，
整理后得到k²x²+（2k²-4）x+k²=0②
因此，直线L₁与该抛物线有两个交点的充要条件是：（2k²-4）²-4k²•k²＞0③
及k≠0．④
解出③与④得到k∈（-1，0）∪（0，1）
现设点P的坐标为(

.

x

，

.

y

)，
则直线L₁的斜率k=

. y

. x +1

，而直线L₂的斜率k2=

. y

. x -1

，
记f(k)=

k2

k1

，则f(k)=

. x +1

. x -1

今记L₁与抛物线的两个交点P₁与P₂的横坐标分别为x₁和x₂，
由韦达定理及②得x1+x2=

4-2k2

k2

，(k∈(-1，0)∪(0，1))
因此

.

x

=

x1+x2

2

=

2-k2

k2

，由此得到f(k)=

1

1-k2

，
定义域是（-1，0）∪（0，1）
显然，1-k²在（-1，0）内递增，在（0，1）内递减
所以，f(k)=

1

1-k2

在（0，1）内为增函数，在（-1，0）内为减函数

点评：本题主要考查直线与抛物线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的一个重要考点，要着重复习．