Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），⊙O：x²+y²=b²，点A、F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点．
（1）若P（-1，），PA是⊙O的切线，求椭圆C的方程；
（2）若是一个常数，求椭圆C的离心率；
（3）当b=1时，过原点且斜率为k的直线交椭圆C于D、E两点，其中点D在第一象限，它在x轴上的射影为点G，直线EG交椭圆C于另一点H，是否存实数a，使得对任意的k＞0，都有DE⊥DH？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用点P（-1，）在圆上，可得b的值，根据PA是⊙O的切线，可求a的值，从而可得椭圆C的方程；
（2）利用是一个常数，可得当点P分别在（±b，0）时比值相等，即=，由此可求椭圆的离心率；
（3）如若存在，设椭圆方程，将D，H坐标代入，利用点差法，结合E、G、H三点共线，即k_EH=k_EG，利用DE⊥DH，即可求得结论．
解答：解：（1）∵点P（-1，）在圆上，∴b²=4
又∵PA是⊙O的切线，∴△OPA为直角三角形，∠POA=60°
∴OA=2OP=2b=4，∴a=4
∴椭圆C的方程为+=1．…（4分）
（2）∵是一个常数，∴当点P分别在（±b，0）时比值相等，即=，整理可得，b²=ac，
又∵b²=a²-c²，∴a²-c²-ac=0，
同除以a²可得e²+e-1=0，解得离心率e=．…（8分）
（3）如若存在，∵b=1，∴设椭圆方程为+y²=1
设y₁∈（0，1），D（x₁，y₁），H（x₂，y₂），E（-x₁，-y₁），G（x₁，0）
∵D、H都在椭圆C上，∴，两式相减得 （x₁²-x₂²）+a²（y₁²-y₂²）=0
由题意可得，D、H在第一象限，且不重合，故（x₁-x₂）（x₁+x₂）≠0
∴•=- （*）
而又因为E、G、H三点共线，故k_EH=k_EG，即==，代入（*）式
可得•=-
而DE⊥DH，即为•=-1，因此，-=-，即a²=2，a=．
从而存在椭圆+y²=1满足题意．…（18分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的离心率，考查存在性问题的探究，属于中档题．