Question

13．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x元	4	5	6	7	8	9
销量y元	90	84	83	80	75	68

由表中数据，求得线性回归方程为$\hat y=-4x+a$，若从这些样本点中任取一点，则它在回归直线下方的概率为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 计算样本中心，代入回归方程解出a，得到回归方程，再计算当x=4，5，6，…9时的预测值，找出真实值比预测值小的点的个数，利用古典概型的概率公式计算概率．

解答 解：$\overline{x}=\frac{4+5+6+7+8+9}{6}$=$\frac{13}{2}$，$\overline{y}=\frac{90+84+83+80+75+68}{6}$=80，
∴a=$80-（-4）×\frac{13}{2}$=106，
∴回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=-4x+106．
计算预测销量如下：

单价x元	4	5	6	7	8	9
销售量y	90	84	83	80	75	68
预测销售量$\stackrel{∧}{y}$	90	86	82	78	74	70

∴销售量比预测销量少的点有2个，
∴从这些样本点中任取一点，则它在回归直线下方的概率P=$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$．
故答案为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了线性回归方程的性质，利用线性回归方程进行预测，古典概型的概率计算，属于中档题．