Question

已知函数，点．

（1）若，函数在上既能取到极大值，又能取到极小值，求的取值范围；

（2）当时，对任意的恒成立，求的取值范围；

（3）若，函数在和处取得极值，且，是坐标原点，证明：直线与直线不可能垂直.

 

Answer 1

（1）；（2）：（3）祥见解析．

【解析】

试题分析：（I）根据条件写出函数和导函数，即在x=2处取得极小值．函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，写出关于t的不等式，解出结果．

（II）写出要用的函数式，根据条件中的恒成立问题，得到x2-bx+1≥0对任意的恒成立，看出函数的单调性，根据最值之间的关系写出结果．

（3）否定结论的证明,可考虑用反证法:假设假设，结合已知条件得出,与已知矛盾即可.

试题解析：（1）当时，，

令得，根据导数的符号可以得出函数在处取得极大值，

在处取得极小值．函数在上既能取到极大值，又能取到极小值，

则只要且即可，即只要即可．

所以的取值范围是． 3分

（2）当时，对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

也即在对任意的恒成立．

令，则． 4分

记，则，

则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点，

故也是最小值点，所以，

从而，所以函数在单调递增．

函数．故只要即可．

所以的取值范围是 6分

（3）假设，即，

即，

故，

即．

由于是方程的两个根，

故．代入上式得． 8分

，

即，与矛盾，

所以直线与直线不可能垂直． 10分

考点：1．函数的极值;2. 函数的恒成立;3.反证法．