Question

在的展开式中，把，，，…，叫做三项式的次系数列．

（Ⅰ）例如三项式的1次系数列是1，1，1，填空：

三项式的2次系数列是 _________ ；

三项式的3次系数列是 _________ ．

（Ⅱ）二项式的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如下

①当时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数列的数阵表；

②由杨辉三角形数阵表中可得出性质：，类似的请用三项式的次系数表示（无须证明）；

（Ⅲ）试用二项式系数（组合数）表示．

 

Answer 1

（Ⅰ）三项式的2次系数列是1,2,3,2,1；三项式的3此系数列是1,3,6,7,6,3,1.

（Ⅱ）①三项式的次系数的数阵表如下：

②观察得：.

（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由，求得2次系数列．同理根据，求得3次系数列．（Ⅱ）①②如图所示：根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，可得结论．

（Ⅲ）根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，再利用组合数公式的性质，可用二项式系数表示

试题解析：（Ⅰ）三项式的2次系数列是1,2,3,2,1；三项式的3此系数列是1,3,6,7,6,3,1.

（Ⅱ）①三项式的次系数的数阵表如下：

②观察得：.

（Ⅲ）因为，由（Ⅱ）②得，

，

，

，……，

所以，又，

所以由得，.

所以有，，，……，

所以将个式子累加得.

又，所以.

考点：二项式系数的性质．