题目内容
8．已知函数f（x）=$\sqrt{x+2}$-$\frac{1}{x-3}$．（1）求函数y=f（x）的定义域；
（2）若函数y=f（x）+a在区间（-2，2）上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
分析 （1）根据式子有意义列出不等式组解出即可；
（2）判断出f（x）在（-2，2）上的单调性，根据零点的存在性定理列不等式解出a的范围．
解答 解：（1）由函数式子有意义得$\left\{\begin{array}{l}{x+2≥0}\\{x-3≠0}\end{array}\right.$，
解得x≥-2且x≠3，
∴f（x）的定义域为：{x|-2≤x＜3或x＞3}
（2）∵f（x）=$\sqrt{x+2}$-$\frac{1}{x-3}$+a在（-2，2）上是增函数，
且在区间（-2，2）上有且仅有一个零点，
∴f（-2）•f（2）＜0，即（$\frac{1}{5}$+a）（3+a）＜0，
解得-3$＜a＜-\frac{1}{5}$．
点评 本题考查了函数定义域，函数零点的存在性定理，属于中档题．
练习册系列答案
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3．已知直线l：ax+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是（ ）
| A． | 1 | B． | -1 | C． | -2或-1 | D． | -2或1 |
17．若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（ ）
| A． | $\frac{{x}^{2}}{5}$+y2=1 | B． | $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1 | ||
| C． | $\frac{{x}^{2}}{5}$+y2=1或$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1 | D． | 以上答案都不对 |