Question

4．不等式log_ax＞sin2x（a＞0且a≠1）对任意$x∈（0，\frac{π}{4}）$都成立，则a的取值范围为（　　）

• A． $（0，\frac{π}{4}）$
• B． $[\frac{π}{4}，1）$
• C． $（\frac{π}{4}，1）∪（1，\frac{π}{2}）$
• D． （0，1）

Answer 1

分析 对a进行分类讨论，当a＞1时可得sin2x＞0、log_ax＜0显然不符合；当0＜a＜1时作出函数y=log_ax和y=sin2x的图象，利用图象和对数函数的单调性 列出不等式，由对数函数的性质求出a的取值范围．

解答 解：当a＞1时，x∈（0，$\frac{π}{4}$），sin2x＞0，而log_ax＜0显然不符合，
故0＜a＜1，结合函数的图象可得，
要使得x∈（0，$\frac{π}{4}$），log_ax＞sin2x都成立，
则只有sin（2×$\frac{π}{4}$）≤log_a$\frac{π}{4}$，
即sin$\frac{π}{2}$≤log_a$\frac{π}{4}$，
则1≤log_a$\frac{π}{4}$，解得$\frac{π}{4}$≤a＜1，
即a的取值范围是[$\frac{π}{4}$，1），
故选：B．

点评 本题考查了函数的恒成立问题，对数函数的图象与性质，解题的关键是准确作出正弦函数及对数函数在所给区间上的图象，属于中档题．