Question

19．设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．求证：
（1）ab+bc+ac≤$\frac{1}{3}$；
（2）$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}≥1$．

Answer 1

分析 （1）运用重要不等式a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，累加结合条件即可得证；
（2）运用基本不等式可得$\frac{a^2}{b}+b≥2a，\frac{b^2}{c}+c≥2b，\frac{c^2}{a}+a≥2c$，累加结合条件，即可得证．

解答 证明：（1）由a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，
得a²+b²+c²≥ab+bc+ac，由（a+b+c）²=1，
得a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1，
所以3（ab+bc+ac）≤1，
所以（ab+bc+ac）≤$\frac{1}{3}$；
（2）由$\frac{a^2}{b}+b≥2a，\frac{b^2}{c}+c≥2b，\frac{c^2}{a}+a≥2c$，
累加可得，$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+（a+b+c）≥2（a+b+c）$，
即$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}≥a+b+c$，
所以$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}≥1$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式，结合累加法，考查推理能力，属于中档题．