Question

19．偶函数f（x）（x∈R）满足：f（-4）=f（2）=0，且在区间[0，3]与[3，+∞）上分别递减，递增，则不等式x•f（x）＜0的解集为（-∞，-4）∪（-2，0）∪（2，4）．

Answer 1

分析 由题意可得函数的图象关于y轴对称，且f（4）=f（2）=f（-2）=f（-4），由不等式xf（x）＜0，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$ ②．分别求得①②的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足：f（-4）=f（2）=0，
∴可得函数的图象关于y轴对称，且f（4）=f（2）=f（-2）=f（-4），
则由在区间[0，3]与[3，+∞）上分别递减，递增，不等式xf（x）＜0，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$ ②．
解①求得x＜-4 或-2＜x＜0，解②求得2＜x＜4．
综上可得，不等式的解集为：（-∞，-4）∪（-2，0）∪（2，4），
故答案为：（-∞，-4）∪（-2，0）∪（2，4）．

点评 本题主要考查函数的单调性、奇偶性以及函数的零点，属于中档题．