Question

22.已知椭圆C：短轴一个端点到右焦点的距离为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值.

Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意

∴b=1, ∴所求椭圆方程为

（Ⅱ）设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

（1）当AB⊥x轴时，|AB|=.（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m.

由已知把y=kx+m代入椭圆方程，整理得

（3k₂+1）x²+6kmx+3m²-3=0, ∴x₁+x₂=

∴|AB| ²=(1+k²)(x₂-x₁)²=(1+k²)[]

当且仅当9k²=,即k=±时等号成立.当k=0时，|AB|=，

综上反述|AB| _max=2.

∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值

S=