Question

17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知2c-a=$\frac{bcosA}{cosB}$，b=$\sqrt{3}$
（1）求角B；
（2）求c+2a的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知，整理可得：2sinCcosB=sin（A+B）=sinC，由sinC≠0，解得cosB=$\frac{1}{2}$，结合范围B∈（0，π），可得B的值．
（2）由（1）及正弦定理可得c=2sinC，a=2sinA，利用三角函数恒等变换的应用化简可得c+2a=2$\sqrt{7}$sin（A+φ），其中tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，由正弦函数的性质可得c+2a的最大值．

解答 解：（1）∵2c-a=$\frac{bcosA}{cosB}$，
∴由正弦定理可得：cosB（2sinC-sinA）=sinBcosA，
整理可得：2sinCcosB=sin（A+B）=sinC，
∵C∈（0，π），sinC≠0，
∴解得：cosB=$\frac{1}{2}$，
∴由B∈（0，π），可得B=60°．
   （2）∵由（1）及正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{sin60°}=2$，
∴c+2a=2sinC+4sinA=2sin（120°-A）+sinA
=$\sqrt{3}$cosA+5sinA=2$\sqrt{7}$sin（A+φ），其中tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
∴由正弦函数的性质可得c+2a的最大值为$2\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题．