Question

15．若F₁，F₂分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，p是该椭圆上的一个动点，且$|{P{F_1}}|+|{PF_2^{\;}}|=4，|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{3}$．
（1）求出这个椭圆方程；
（2）是否存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，使$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）写出直线l的方程，联立直线方程和椭圆方程，可得A、B的横纵坐标的积，结合$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$列式求得直线l的斜率．

解答 解：（1）由已知可得：2a=4，2c=2$\sqrt{3}$，
∴a=2，c=$\sqrt{3}$，则b²=a²-c²=1．
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，使$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，此时k=±2．
由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
则直线l的方程为y=kx+2．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+16kx+12=0．
则△=（16k）²-48（1+4k²）=64k²-48＞0，得$k＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$或$k＞\frac{\sqrt{3}}{2}$．
再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-16k}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{12}{1+4{k}^{2}}$．
由$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，得x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=$（1+{k}^{2}）•\frac{12}{1+4{k}^{2}}+2k•\frac{-16k}{1+4{k}^{2}}+4$=0．
解得：k=±2，符合△＞0．
∴存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，使$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了向量垂直与数量积的关系，是中档题．