Question

9．设函数f（x）的定义域是R，且f（x）＞0，对于任意实数m，n恒有f（m+n）=f（m）f（n），当x＞0时，f（x）＞1，试判断f（x）在R上的单调性，并给以证明．

Answer 1

分析 函数f（x）在R上是单调递增函数，利用定义，结合题意即可证明结论成立．

解答 解：函数f（x）在R上是单调递增函数，
证明如下：设x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，
则x₁-x₂＞0，
又x＞0时，f（x）＞1，
∴f（x₁-x₂）＞1；
又x∈R时，f（x）＞0，
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）•f（x₂）＞f（x₂）；
∴函数f（x）在R上是单调递增函数．

点评 本题考查了用定义证明函数的单调性问题，是基础题目．