题目内容

已知M是△ABC内的一点，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=
π
6
，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为
1
2
，x，y，则
1
x
+
4
y
的最小值为（　　）
A、16B、18C、20D、24
考点：基本不等式,平面向量数量积的运算
专题：不等式的解法及应用,平面向量及应用
分析：由
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=
π
6
，利用数量积运算可得|
AB
| |
AC
|cos
π
6
=2
3
，即bc=4．利用三角形的面积计算公式可得S△ABC=
1
2
bcsin
π
6
=1．已知△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为
1
2
，x，y．可得
1
2
+x+y=1，化为x+y=
1
2
．再利用基本不等式
1
x
+
4
y
=2(x+y)(
1
x
+
4
y
)=2(5+
y
x
+
4x
y
)即可得出．
解答： 解：∵
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=
π
6
，
∴|
AB
| |
AC
|cos
π
6
=2
3
，∴bc=4．
∴S△ABC=
1
2
bcsin
π
6
=
1
4
bc=1．
∵△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为
1
2
，x，y．
∴
1
2
+x+y=1，化为x+y=
1
2
．
∴
1
x
+
4
y
=2(x+y)(
1
x
+
4
y
)=2(5+
y
x
+
4x
y
)≥2(5+2
y
x
•
4x
y
)=18，当且仅当y=2x=
1
3
时取等号．
故
1
x
+
4
y
的最小值为18．
故选：B．
点评：本题考查了数量积运算、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知复数z=1+
1-i
1+i
，则|
.
z
|=
 
．
从3001名学生中选取50名组成参观团，现采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 3001人中剔除1人，剩下的3000人再按系统抽样的方法进行，则每个人被选到的机会（　　）
A、不全相等B、均不相等
C、无法确定D、都相等
在[-2，3]上随机取一个数x，则（x+1）（x-3）≤0的概率为
 
．
奇函数f（x）在[-2，2]是增函数，且f（-2）=-1，若函数f（x）≤t2-2at-1对所有的x∈[-2，2]，a∈[-1，1]都成立，求实数t的取值范围（　　）
A、-1≤t≤1
B、-2≤t≤2
C、t≤-2或t≥2
D、t≤-2或t=0或t≥2
已知sinθ+cosθ=
1
5
，θ∈（0，π），则sinθ-cosθ的值是
 
．
在△ABC中，a2tanB=b2tanA，则△ABC是__________（　　）
A、等腰或直角三角形
B、等腰三角形
C、等腰直角三角形
D、直角三角形
已知{
i
，
j
，
k
}是单位正交基底，
a
=-3
i
+4
j
-
k
，
a
-
b
=-8
i
+16
j
-3
k
，那么
a
•
b
=
 
．
证明：（Ⅰ）若a＞b＞c＞d＞0且a+d=b+c，求证：
d
+
a
＜
b
+
c
．
（Ⅱ）已知a、b、c、d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd＞1，求证：a、b、c、d中至少有一个是负数．

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