Question

设a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+sin²x的定义域是[

π

4

，

11

24

π]，f(

π

4

)=

3

．给出下列几个命题：
①f（x）在x=

π

4

处取得小值；
②[

5

12

π，

11

24

π]是f（x）的一个单调递减区间；
③f（x）图象向左平移

π

12

个单位，将得到函数y=2sin2x的图象；
④使得f（x）取得最大值的点仅有一个x=

π

3

．
其中正确命题的序号是

 

．（将你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：首先对函数关系式进行恒等变换，进一步利用函数中的已知条件求出函数的解析式，进一步利用函数的性质求出函数的单调区间、最值、函数的平移变换．

解答： 解：①f（x）=cosx（asinx-cosx）+sin²x
=asinxcosx-cos²x+sin²x
=

a

2

sin2x-cos2x
由于：

π

4

≤x≤

11π

24

所以：

π

2

≤2x≤

11π

12

f(

π

4

)=

3

所以：

a

2

sin

π

2

-cos

π

2

=

3

解得：a=2

3

所以f（x）=

3

sin2x-cos2x
=2sin（2x-

π

6

）
当x∈[

π

4

，

π

3

]时，2x-

π

6

∈[

π

3

，

π

2

]，函数f（x）为增函数．
当x∈[

π

3

，

11π

24

]时，2x-

π

6

∈[

π

2

，

3π

4

]，函数为减函数．
所以x∈[

5

12

π，

11

24

π]是f（x）的一个单调递减区间；
故②正确．
函数f(x)=2sin(2x-

π

6

)向左平移

π

12

个单位得到函数y=2sin2x的图象；
故③正确．
当函数f（x）取最大值的点仅有一个x=

π

3

故④正确．
由于f(

π

4

)=

3

，f(

11π

24

)=

2

故函数的最小值为：f(

11π

24

)=

2

故①错误．
故答案为：②③④

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，单调性函数的平移变换，函数的最值的应用．