Question

已知函数．

（1）当时，判断在的单调性，并用定义证明．

（2）若对任意，不等式 恒成立，求的取值范围；

（3）讨论零点的个数．

 

Answer 1

(1)详见解析;(2);(3)详见解析.

【解析】

试题分析：(1)首先去掉绝对值，用定义证明；

(2) 恒成立，转换为 恒成立，求的最大值；

(3)将转化为，即求,与的交点情况,进行讨论.

试题解析：解析：（1）当，且时，是单调递减的.

证明：设，则

又，所以，，

所以

所以，即，

故当时，在上单调递减的．

（2）由得，

变形为，即

而，

当即时，

所以．

（3）由可得，变为

令

作的图像及直线，由图像可得：

当或时，有1个零点．

当或或时，有2个零点；

当或时，有3个零点．

考点：1.定义法证明函数单调性;2.不等式恒成立;3.函数图像.