Question

3．设函数f（x）=xe^x-asinxcosx（a∈R，其中e是自然对数的底数）．
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）若对于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}}$]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得函数f（x）在区间$（{0，\frac{π}{2}}）$上有两个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将a=0代入f（x），求出函数的导数，列出表格，求出函数的极值即可；
（2）通过讨论a的范围，求出函数的导数，确定函数的单调区间，从而确定a的范围即可；
（3）求出当a≤1时，函数f（x）在区间$（{0，\frac{π}{2}}）$上无零点，a＞1时，求出函数的导数，根据函数的单调性得到f（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$上有一个零点，从而判断结论即可．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=xe^x，f′（x）=e^x（x+1），
令f′（x）=0，得x=-1，
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

所以函数f（x）的极小值为$f（{-1}）=-\frac{1}{e}$，无极大值；
（2）①当a≤0时，由于对于任意$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，有sinxcosx≥0，
所以f（x）≥0恒成立，当a≤0时，符合题意；
 ②当0＜a≤1时，因为f′（x）≥e^x（x+1）-acos2x≥e⁰（0+1）-acos0=1-a≥0，
所以函数f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上为增函数，所以f（x）≥f（0）=0，即当0＜a≤1，符合题意；
③当a＞1时，f′（0）=1-a＜0，${f^'}（{\frac{π}{4}}）={e^{\frac{π}{4}}}（{\frac{π}{4}+1}）＞0$，
所以存在$α∈（{0，\frac{π}{4}}）$，使得f′（α）=0，且在（0，α）内，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，α）上为减函数，所以f（x）＜f（0）=0，
即当a＞1时，不符合题意，
综上所述，a的取值范围是（-∞，1]；
（3）不存在实数a，使得函数f（x）在区间$（{0，\frac{π}{2}}）$上有两个零点，
由（2）知，当a≤1时，f（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$上是增函数，且f（0）=0，
故函数f（x）在区间$（{0，\frac{π}{2}}）$上无零点，
当a＞1时，f′（x）≥e^x（x+1）-acos2x，
令g（x）=e^x（x+1）-acos2x，g′（x）=e^x（x+2）+2asin2x
当$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$时，恒有g′（x）＞0，所以g（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$上是增函数，
由$g（0）=1-a＜0，g（{\frac{π}{2}}）={e^{\frac{π}{2}}}（{\frac{π}{2}+1}）+a＞0$，
故g（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$上存在唯一的零点x₀，即方程f′（x）=0在$（{0，\frac{π}{2}}）$上存在唯一解x₀，
且当x∈（0，x₀）时，f′（x）＜0，当$x∈（{{x_0}，\frac{π}{2}}）$，f′（x）＞0，
即函数f（x）在（0，x₀）上单调递减，在$（{{x_0}，\frac{π}{2}}）$上单调递增，
当x∈（0，x₀）时，f（x）＜f（0）=0，即f（x）在（0，x₀）无零点；
当$x∈（{{x_0}，\frac{π}{2}}）$时，$f（{x_0}）＜f（0），f（{\frac{π}{2}}）=\frac{π}{2}{e^{\frac{π}{2}}}＞0$，
所以f（x）在$（{{x_0}，\frac{π}{2}}）$上有唯一零点，
所以，当a＞1时，f（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$上有一个零点，
综上所述，不存在实数a，使得函数f（x）在区间$（{0，\frac{π}{2}}）$上有两个零点．

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．