Question

设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an + 1 = 2Sn + 2 (n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)在an与an + 1之间插入n个数，使这n + 2个数组成一个公差为dn的等差数列．

①在数列{dn}中是否存在三项dm，dk，dp (其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的三项，若不存在，说明理由；

②求证：．

 

Answer 1

（1） （2）不存在（证明见解析） （3）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）利用和等比数列的定义即可得出；

（2）利用等差数列的通向公式即可得出；

①假设在数列中存在三项（其中是等差数列）成等比数列，利用等差数列和等比数列的定义及其反证法即可得出；

②利用（2）的结论、“错位相减法”和等比数列的前和公式即可得出.

试题解析：(1)【解析】
由，得：

两式相减：

∵数列是等比数列，∴，故

因此．

(2)【解析】
由题意，即，故

①假设在数列中存在三项（其中是等差数列）成等比数列

则，即： (*)

∵成等差数列，∴

(*)可以化为，故，这与题设矛盾

∴在数列中不存在三项（其中是等差数列）成等比数列.

②令

则

两式相减得：

∴.

考点：等差数列和等比数列的性质；错位相减法求和.