Question

设双曲线，F₁、F₂是其两个焦点，点M在双曲线上

(1)若∠F₁MF₂=90°，求△F₁MF₂的面积；    
(2)若∠F₁MF₂=60°时，△F₁MF₂的面积是多少？若∠F₁MF₂=120°时，△F₁MF₂的面积是多少？    
(3)观察以上计算结果，你能看出随着∠F₁MF₂的变化，△F₁MF₂的面积将怎样变化吗？试证明你的结论．

Answer 1

解：(1)由双曲线方程知a=2，b=3，
设|MF₁|=r_1，|MF₂|=r₂(r₁>r₂).
由双曲线定义得r₁-r₂=2a=4，
两边平方得
即，
即

(2)若∠F₁MF₂=60°，在△MF₁F₂中，由余弦定理得

|F₁F₂|²=(r₁-r₂)²+r₁r₂
∴ r₁r₂=36，则
同理，若∠F₁MF₂=120°，
    
(3)由以上结果可知，随着∠F₁MF₂的增大，△F₁MF₂的面积将减小，

证明：令∠F₁MF₂=θ，则
由双曲线定义及余弦定理得
②-①得

∵0<θ<π，
∴
在内，是单调递减的．
∴当θ增大时，减小．