Question

9．已知函数f（x）=x-1+$\frac{1}{lnx}$
（I）求f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；
（Ⅱ）当0＜x＜l时，若不等式f（x）≤kx-1恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （I）求导数，确定切线斜率、切点坐标，即可求f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；
（Ⅱ）当0＜x＜l时，若不等式f（x）≤kx-1恒成立，可以转化为k-1≥$\frac{1}{xlnx}$．求出右边的最大值，即可求k的取值范围．

解答 解：（I）∵f（x）=x-1+$\frac{1}{lnx}$，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{xl{n}^{2}x}$，
∴f′（e）=1-$\frac{1}{e}$，
∵f（e）=e，
∴f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y-e=（1-$\frac{1}{e}$）（x-e），即y=（1-$\frac{1}{e}$）x+1；
（Ⅱ）当0＜x＜l时，若不等式f（x）≤kx-1恒成立，可以转化为k-1≥$\frac{1}{xlnx}$．
令g（x）=xlnx，则g′（x）=lnx+1，
$\frac{1}{e}$＜x＜1时，g′（x）＞0，函数单调递增，0＜x＜$\frac{1}{e}$时，g′（x）＜0，函数单调递减，
∴g（x）的最小值为-$\frac{1}{\;}$，
由0＜x＜1，g（x）＜0，可得$\frac{1}{xlnx}$的最大值为-e，
∴k-1≥-e，
∴k≥1-e．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，正确分离参数求最值是关键．