Question

1．设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且2sinA=sinB+sinC，a=2，则△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 通过正弦定理求出b+c与bc的范围，通过余弦定理求出cosA的范围，然后求解sinA的值，即可得解三角形的面积的最大值．

解答 解：∵2sinA=sinB+sinC，a=2，
∴由正弦定理可得：2a=b+c=4，可得：bc≤4．
∴两边平方可得：b²+c²+2bc=16，解得：b²+c²=16-2bc，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：2²=b²+c²-2bccosA=16-2bc-2bccosA，
∴解得：bc=$\frac{6}{1+cosA}$≤4，可得：cosA≥$\frac{1}{2}$，解得：A∈（0，$\frac{π}{3}$]，
∴sinA∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×4$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，计算能力和转化思想，属于中档题．