Question

9．已知sinθ=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，且θ为钝角．
（1）求tanθ；
（2）求$\frac{1}{sin2θ}$+$\frac{2sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得cosθ的值，可得tanθ的值．
（2）把要求的式子化简后用tanθ来表示，再把tanθ=-2代入，可得结果．

解答 解：（1）∵sin²θ+cos²θ=1，∴cos²θ=1-sin²θ=$1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$．
又θ为钝角，∴cosθ=$-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，∴$tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}=-2$．
（2）由（1）知tanθ=-2，∴$\frac{1}{sin2θ}+\frac{2sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$=$\frac{{{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ}}{2sinθcosθ}+\frac{2sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$=$\frac{{{{tan}^2}θ+1}}{2tanθ}+\frac{2tanθ-1}{tanθ+1}$=$-\frac{5}{4}+5=\frac{15}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．