Question

过抛物线y²=4x焦点作直线L与抛物线交于A、B，过A、B分别作抛物线的切线交于点P，则△ABP为（　　）

• A、锐角三角形
• B、直角三角形
• C、钝角三角形
• D、随P位置变化前三种情况都有可能

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出抛物线的焦点，两边对x求导，可得切线的斜率，讨论AB斜率不存在，求得切线斜率，即可判断；再设AB：y=k（x-1），（k≠0），联立y²=4x，消去x，运用韦达定理，结合切线公式，由直线垂直的条件即可判断三角形ABP的形状．

解答： 解：抛物线y²=4x焦点为（1，0），
设抛物线y²=4x的点（m，n），
由2yy′=4，即有y′=

2

y

，
即切线的方程为y-n=

2

n

（x-m），
由于n²=4m，即有ny=2（m+x）．
若直线l：x=1，则交点A（1，2），B（1．-2），
则过A、B的切线方程分别为y-2=x-1和y+2=-（x-1），
即有PA⊥PB，则△ABP为直角三角形；
若直线AB的斜率为k，即有AB：y=k（x-1），（k≠0），
联立y²=4x，消去x，可得

k

4

y²-y-k=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁y₂=-4．
则有切线的斜率为

2

y1

，

2

y2

，
且

2

y1

•

2

y2

=

4

y1y2

=-1，
即有PA⊥PB，则△ABP为直角三角形．
故选B．

点评：本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，注意运用两直线垂直的条件是解题的关键．