Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，a_n+1=S_n+

t

16

（n∈N₊，t为常数）．
（Ⅰ）求t的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知b_n=n（n∈N^*），记T_n为{b_n•a_n}的前n项和，若（n-1）²≤m（T_n-n-1）对于n≥2恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，结合数列{a_n}为等比数列，即可求t的值，由等比数列的通项公式求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由b_n=n，得b_n•a_n=n•2ⁿ，再由错位相减法求得T_n，代入（n-1）²≤m（T_n-n-1）后分离参数m，由数列的函数特性求得实数m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1=S_n+

t

16

，
∴an=Sn-1+

t

16

（n≥2），
两式作差得：a_n+1=2a_n（n≥2），
∵数列{a_n}为等比数列，∴

a2

a1

=2，
∵a₁=2，
∴an=a1qn-1=2•2n-1=2n．
a2=a1+

t

16

=2+

t

16

=

32+t

16

，
由

a2

a1

=

32+t

32

=2，解得：t=32；
（Ⅱ）由b_n=n，
则b_n•a_n=n•2ⁿ，
∴Tn=1•21+2•22+…+n•2n，
2Tn=1•22+2•23+…+n•2n+1，
两式作差得：-Tn=2+22+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1，
∴Tn=(n-1)•2n+1+2．
（n-1）²≤m（T_n-n-1）对于n≥2恒成立，即为（n-1）²≤m[（n-1）•2ⁿ⁺¹-n+1]对于n≥2恒成立，
也就是m≥

n-1

2n+1-1

(n≥2)，
由作差法可得函数f（n）=

n-1

2n+1-1

(n≥2)为减函数，
∴f(n)max=

1

7

．
∴m的取值范围是[

1

7

，+∞）．

点评：本题考查了数列递推式，考查了错位相减法求数列的和，训练了分离变量法求参数的取值范围，考查了数列的函数特性，是中档题．