Question

14．已知函数f（x）=xlnx-x+$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{3}$ax³，f′（x）为函数f（x）的导函数．
（1）若F（x）=f（x）+b，函数F（x）在x=1处的切线方程为2x+y-1=0，求a，b的值；
（2）若f′（x）≤-x+ax恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用函数F（x）在x=1处的切线方程为2x+y-1=0，F′（1）=-2，F（1）=-1，即可求a，b的值；
（2）若f′（x）≤-x+ax恒成立，a≥$\frac{lnx+2x}{x+{x}^{2}}$，求出右边的最大值，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=xlnx-x+\frac{1}{2}{x^2}-\frac{1}{3}a{x^3}$，
∴F′（x）=lnx+x-ax²，
∵函数F（x）在x=1处的切线方程为2x+y-1=0，
∴F′（1）=-2，F（1）=-1，
∴1-a=-2，-1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}a$+b=-1，
∴a=3，b=$\frac{1}{2}$；
（2）lnx+x-ax²≤-x+ax，
∴a≥$\frac{lnx+2x}{x+{x}^{2}}$，
设g（x）=$\frac{lnx+2x}{x+{x}^{2}}$，则g′（x）=$\frac{（1+2x）（1-lnx-x）}{（x+{x}^{2}）^{2}}$，
又h（x）=1-lnx-x，则h′（x）=-$\frac{1}{x}$-1＜0
又因为h（1）=0，所以（0，1），h（x）＞0，（1，+∞），h（x）＜0，
∴g（x）=$\frac{lnx+2x}{x+{x}^{2}}$在（0，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）_max=1，
∴a≥1．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．