Question

(2005江西，20)如下图，在长方体中，，AB=2，点E在棱AB上移动．

(1)证明：；

(2)当E为AB的中点时，求点E到面的距离；

(3)AE等于何值时，二面角的大小为．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：解法一：(1)∵AE⊥平面，， ∴． (2)设点E到面的距离为h，在△中，，．故， 而， ∴， ∴． (3)过D作DH⊥CE于H，连、DE，则⊥CE， ∴为二面角的平面角． 设AE=x，则BE=2－x，在Rt中， 由，得DH=1．∵在Rt△ADE中，， ∴在Rt△DHE中，EH=x，在Rt△DHC中， 在Rt△CBE中，， ∴． 所以时，二面角的大小为． 解法二：以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则(1，0，1)，(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0)，C(0，2，0)． (1)因为， 所以． (2)因为E为AB的中点，则E(1，1，0)， 从而，，， 设平面的法向量为n=(a，b，c)， 则也即得 从而n=(2，1，2)， 所以点E到平面的距离为． (3)设平面的法向量n=(a，b，c)， 所以 ，，， 由 令b=1，所以c=2，a=2－x．所以n=(2－x，1，2)． 依题意． 所以(不合，舍去)，， 所以时，二面角的大小为．

提示：

剖析：本题考查线线垂直、点面距离以及二面角的知识，可采用传统综合法或平面向量法求解．