Question

5．已知F₁、F₂为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₂做椭圆的弦AB．
（Ⅰ） 求证：△F₁AB的周长是常数；
（Ⅱ） 若：△F₁AB的周长为16，且|AF₁|、|F₁F₂|、|AF₂|成等差数列，求椭圆方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的定义知，|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，即可得出△F₁AB的周长是常数．
（Ⅱ）由周长为16，得a=4； 又|AF₁|、|F₁F₂|、|AF₂|成等差数列，可得2|F₁F₂|=|AF₁|+|AF₂|，即4c=2a，解得c．再利用b²=a²-c²，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的定义知，|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，∴△F₁AB的周长是常数4a．
（Ⅱ）由周长为16，得a=4； 又|AF₁|、|F₁F₂|、|AF₂|成等差数列，
∴2|F₁F₂|=|AF₁|+|AF₂|，
∴4c=2a，解得c=2．
b²=a²-c²=12．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．