Question

2．在函数f（x）=blnx+（x-1）²（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₁＞x₂），总能使得f（x₁）-f（x₂）≥3（x₁-x₂），则实数b的取值范围为[$\frac{25}{8}$，+∞）．

Answer 1

分析 函数f（x）=blnx+（x-1）²（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）x₁＞x₂）连续的斜率不小于3，即导数值不小于3，由此构造关于b的不等式，可得实数b的取值范围．

解答 解：∵x₁-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）≥3（x₁-x₂），
∴$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$≥3，
∵f（x）=blnx+（x-1）²，（x＞0）
∴f′（x）=$\frac{b}{x}$+2（x-1）
∴$\frac{b}{x}$+2（x-1）≥3，
∴b≥-2x²+5x
∵-2x²+5x=-2（x-$\frac{5}{4}$）²+$\frac{25}{8}$≤$\frac{25}{8}$，
∴a≥$\frac{25}{8}$，
故答案为：[$\frac{25}{8}$，+∞）．

点评 本题考查的知识点导数的几何意义，斜率公式，其中分析出f（x₁）-f（x₂）≥3（x₁-x₂）的几何意义，是解答的关键．