Question

17．若数列{a_n}满足$\frac{{{a_{n+2}}}}{{{a_{n+1}}}}$+$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$=k（k为常数），则称数列{a_n}为等比和数列，k称为公比和．已知数列{a_n}是以3为公比和的等比和数列，其中a₁=1，a₂=2，则a₂₀₁₅=2¹⁰⁰⁷．

Answer 1

分析 分别计算出前几项的值，找出规律，计算即可．

解答 解：∵a₁=1，a₂=2，k=3，
∴$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=3，即a₃=a₂（3-$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$）=2（3-2）=2，
∴$\frac{{a}_{4}}{2}$+$\frac{2}{1}$=3，即a₄=4，
∴$\frac{{a}_{5}}{4}$+$\frac{4}{2}$=3，即a₅=4，
∴$\frac{{a}_{6}}{4}$+$\frac{4}{4}$=3，即a₆=8，
…
∴a₂₀₁₅=a₂₀₁₄=2¹⁰⁰⁷，
故答案为：2¹⁰⁰⁷．

点评 本题考查数列的有关概念、数列的递推公式，属于中档题．