Question

5．如图，△AB₁C₁，△C₁B₂C₂，△C₂B₃C₃是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边B₃C₃上有2个不同的点P₁，P₂，则$\overrightarrow{A{B_2}}•（\overrightarrow{A{P_1}}+\overrightarrow{A{P_2}}）$=36．

Answer 1

分析 根据图形证明$\overrightarrow{{AB}_{2}}$⊥$\overrightarrow{{{B}_{3}C}_{3}}$，$\overrightarrow{{AB}_{2}}$•$\overrightarrow{{{C}_{3}B}_{3}}$=0；根据平面向量的线性表示与数量积运算计算$\overrightarrow{A{B_2}}•（\overrightarrow{A{P_1}}+\overrightarrow{A{P_2}}）$即可．

解答 解：由图可知，∠B₂AC₃=30°，又∠AC₂B₂=60°，
∴$\overrightarrow{{AB}_{2}}$⊥$\overrightarrow{{{B}_{2}C}_{2}}$，
又$\overrightarrow{{{B}_{2}C}_{2}}$∥$\overrightarrow{{{B}_{3}C}_{3}}$，
∴$\overrightarrow{{AB}_{2}}$⊥$\overrightarrow{{{B}_{3}C}_{3}}$，
∴$\overrightarrow{{AB}_{2}}$•$\overrightarrow{{{C}_{3}B}_{3}}$=0；
∴$\overrightarrow{A{B_2}}•（\overrightarrow{A{P_1}}+\overrightarrow{A{P_2}}）$=$\overrightarrow{{AB}_{2}}$•[（$\overrightarrow{{AC}_{3}}$+$\overrightarrow{{{C}_{3}P}_{1}}$）+（$\overrightarrow{{AC}_{3}}$+$\overrightarrow{{{C}_{3}P}_{2}}$）]
=$\overrightarrow{{AB}_{2}}$•$\overrightarrow{{AC}_{3}}$+$\overrightarrow{{AB}_{2}}$•m$\overrightarrow{{{C}_{3}B}_{3}}$+$\overrightarrow{{AB}_{2}}$•$\overrightarrow{{AC}_{3}}$+$\overrightarrow{{AB}_{2}}$•n$\overrightarrow{{{C}_{3}B}_{3}}$
=2$\overrightarrow{{AB}_{2}}$•$\overrightarrow{{AC}_{3}}$
=2×2$\sqrt{3}$×6×cos30°
=36．
故答案为：36．

点评 本题考查了平面向量线性表示与数量积的运算问题，也考查了三角形中边角关系的运用问题，是综合题．