Question

已知等差数列{a_n}的公差为负数，且a₁+a₂+a₃=15，若a₁+1，a₂-3，a₃-7经重新排列后依次可成等比数列，求：
（1）数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{a_n}的前n项和S_n的最大值．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a₂=5，令a₁=5+t，a₃=5-t（t＞0），由已知求出t=2，从而得到a_n=9-2n
（2）Sn=

n

2

(a1+an)=-n²+8n=-（n-4）²+16，由此能求出数列{a_n}的前n项和S_n的最大值．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}为等差数列，
∴a₁+a₂+a₃=3a₂=15
∴a₂=5
∴令a₁=5+t，a₃=5-t（t＞0）
∴a₁+1=6+t＞0，a₂-3=2＞0，a₃-7=-2-t＜0
∴2（6+t）=（-2-t）²
∴t=2（∵t＞0）
∴a₁=7，
∴a_n=9-2n
（2）Sn=

n

2

(a1+an)
=

n

2

(7+9-2n)=-n²+8n
=-（n-4）²+16，
∴当n=4时，S_n有最大值，且最大值为16．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的最大值的求法，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．