Question

1．（1）设p：实数x满足（x-3a）（x-a）＜0，其中a＞0，q：实数x满足$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-3x≤0\\{x^2}-x-2＞0\end{array}\right.$，若p是?q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
（2）设命题p：“函数$f（x）=\frac{x^3}{3}+\frac{{m{x^2}}}{2}+x+3$无极值”；命题q：“方程$\frac{x^2}{m}+{y^2}=1$表示焦点在y轴上的椭圆”，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求出关于p，q的不等式，得到关于a的不等式，解出即可；
（2）分别求出p，q为真时的m的范围，得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）p：a＜x＜3a，q：2＜x≤3，
故￢q：x＞3或x≤2
∵p是￢q的充分不必要条件，
∴3a≤2或a≥3，
解得：0＜a≤$\frac{2}{3}$或a≥3，
即实数a的取值范围是（0，$\frac{2}{3}$]∪[3，+∞）．
（2）p：f′（x）=x²+mx+1，函数无极值，
得到△=m²-4≤0，解得：-2≤m≤2，
q：0＜m＜1，
若p或q为真命题，p且q为假命题，
则p，q一真一假，
故$\left\{\begin{array}{l}{-2≤m≤2}\\{m≥1或m≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜1}\\{m＞2或m＜-2}\end{array}\right.$，
解得：-2≤m≤0或1≤m≤2，
故答案为：[-2，0]∪[1，2]．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用复合命题之间的关系是解决本题的关键．