Question

8．某汽车公司为调查4S店个数对该公司汽车销量的影响，对同等规模的A，B，C，D，E五座城市的4S店一季度汽车销量进行了统计，结果如表：

城市	A	B	C	D	E
4S店个数x	3	4	6	5	2
销量y（台）	28	30	35	31	26

（Ⅰ）根据该统计数据进行分析，求y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）现要从A，B，E三座城市的9家4S店中选取4家做深入调查，求A城市中被选中的4S店个数X的分布列和期望．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （I）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；
（II）X的取值为0，1，2，3，分别计算各取值的概率，得出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）$\overline x=4，\overline y=30$，∴$\hat b=\frac{（3-4）（28-30）+（4-4）（30-30）+（6-4）（35-30）+（5-4）（31-30）+（2-4）（26-30）}{{{{（3-4）}^2}+{{（4-4）}^2}+{{（6-4）}^2}+{{（5-4）}^2}+{{（2-4）}^2}}}=2.1$，$\hat a=30-2.1×4=21.6$，
∴y关于x的线性回归方程为：$\hat y=2.1x+21.6$．
（Ⅱ）X的可能取值为：0，1，2，3．
$P（X=0）=\frac{C_6^4}{C_9^4}=\frac{5}{42}$，$P（X=1）=\frac{C_3^1C_6^3}{C_9^4}=\frac{10}{21}$，$P（X=2）=\frac{C_3^2C_6^2}{C_9^4}=\frac{5}{14}$，$P（X=3）=\frac{C_3^3C_6^1}{C_9^4}=\frac{1}{21}$．
X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{42}$	$\frac{10}{21}$	$\frac{5}{14}$	$\frac{1}{21}$

$EX=0×\frac{5}{42}+1×\frac{10}{21}+2×\frac{5}{14}+3×\frac{1}{21}=\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了线性回归方程的求解，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．