题目内容
如图，在平面直角坐标系
中，已知
，
，
是椭圆
上不同的三点，
，
，
在第三象限，线段
的中点在直线
上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点C的坐标；
（3）设动点
在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于
，
两点，证明
为定值并求出该定值．
（1）求椭圆方程一般用待定系数法.本题已知椭圆过两点，列两个方程
，解出
的值,（2）求点
的坐标，需列出两个方程.一是点C在椭圆上，即
，二是
的中点在直线
上，即
.注意到
在第三象限，舍去正值.（3）题意明确，思路简洁，就是求出点
的坐标，算出
为定值.难点是如何消去参数.因为点在直线
： 
上，所以可设
，
．选择
作为参数，即用表示点的坐标.由
三点共线，解得
，同理解得
.从而有
，这里主要用到
代入化简.本题也可利用椭圆参数方程或三角表示揭示
为定值.
【解析】
试题分析：（1）
,（2）
,（3）
.
试题解析：（1）由已知，得 解得
2分
所以椭圆的标准方程为． 3分
（2）设点
，则
中点为
．
由已知，求得直线的方程为，从而．①
又∵点
在椭圆上，∴．②
由①②，解得
（舍），
，从而
． 5分
所以点
的坐标为． 6分
（3）设，，．
∵三点共线，∴
，整理，得． 8分
∵
三点共线，∴
，整理，得． 10分
∵点在椭圆上，∴，
．
从而． 14分
所以
． 15分
∴
为定值，定值为． 16分
考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系
练习册系列答案
相关题目
的定义域为A，函数
的定义域为B，则A
B = ．
的前
项和为
，若
，
，
，则正整数
= ．
的离心率为
，则实数m的值为 ．
，若函数
恰有两个不同的零点，则实数
的取值范围为 ．
，若
，则
的值为 ．
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，若
.
；
，
时，求
（
R），
为其导函数，且
时
有极小值
．
的单调递减区间；
，
，当
时，对于任意x，
和
的值至少有一个是正数，求实数m的取值范围；
（
为正整数）对任意正实数
恒成立，求
的最大值．