Question

13．已知数列{a_n}是等差数列，且a₃=5，a₆=11，数列{b_n}是公比大于1的等比数列，且b₁=1，b₃=9．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n-b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差数列的通项公式由已知条件求出首项和公比，由此能求出等差数列{a_n}的通项公式；由数列{b_n}是以b₁=3为首项，公比为3的等比数列，能求出{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由c_n=（2n-1）-3ⁿ，利用分组求和法能求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₃=5，a₆=11，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=5}\\{{a}_{1}+5d=11}\end{array}\right.$得，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
∵b₁=1，b₃=9．
∴q²b₁=9．
即q²=9，
∵q＞1，∴q=3，
即数列{b_n}是以b₁=3为首项，公比为3的等比数列，
∴${b}_{n}=3×{3}^{n-1}={3}^{n}$．
（Ⅱ）∵c_n=a_n-b_n，
∴c_n=（2n-1）-3ⁿ，
∴S_n=1+3+5+7+…+（2n-1）-（3+3²+3³+…+3ⁿ）
=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$-$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=n²-$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1）．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．