Question

5．若函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-a}$是奇函数，则a=1，使f（x）＞3成立的x的取值范围为（0，1）．

Answer 1

分析 由函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-a}$是奇函数，f（-x）=-f（x）在定义域内恒成立，可得a值，进而解指数不等式可得使f（x）＞3成立的x的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-a}$是奇函数，
则f（-x）=-f（x）在定义域内恒成立，
即$\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-a}$=$\frac{{2}^{x}+1}{{1-a2}^{x}}$=-$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-a}$，
解得：a=1，
令f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$＞3，即1＜2^x＜2，
解得：x∈（0，1），
故答案为：1，（0，1）

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．