题目内容
如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，D是AB的中点，F是BC上的一点，AF交CD于点E，且CE=DE，将△ACD沿CD折起，使二面角A-CD-B的大小为120°．
（1）求证：平面AEF⊥平面CBD；
（2）求二面角F-AC-E的余弦值．
（1）求证：平面AEF⊥平面CBD；
（2）求二面角F-AC-E的余弦值．
考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）由已知得△ACD是等边三角形，CD=BD，∠B=30°，AF⊥CD，从而折叠后AE⊥CD，EF⊥CD，由此能证明平面AEF⊥平面CBD．
（2）以E为原点，EC为x轴，EF为y轴，过E垂直于平面BCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面CAF的法向量和平面ACE的法向量，利用向量法能求出二面角F-AC-E的余弦值．
（2）以E为原点，EC为x轴，EF为y轴，过E垂直于平面BCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面CAF的法向量和平面ACE的法向量，利用向量法能求出二面角F-AC-E的余弦值．
解答：
（1）证明：由已知得△ACD是等边三角形，CD=BD，∠B=30°，
∴AF⊥CD，∴折叠后AE⊥CD，EF⊥CD，
又AE∩EF=E，∴CD⊥平面AEF，
又CD?平面CBD，∴平面AEF⊥平面CBD．
（2）解：以E为原点，EC为x轴，EF为y轴，
过E垂直于平面BCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设CD=2，则C（1，0，0），F（0，
，0），
A（0，-
，
），E（0，0，0），
=（-1，-
，
），
=（-1，
，0），
设平面CAF的法向量
=（x，y，z），
则
，
取y=
，得
=（1，
，
），
=（0，-
，
），
=（1，0，0），
设平面ACE的法向量
=（a，b，c），
则
，取y=
，得
=（0，
，1），
设二面角F-AC-E的平面角为θ，
cosθ=|cos＜
，
＞|=|
|=
=
．
∴二面角F-AC-E的余弦值为
．
∴AF⊥CD，∴折叠后AE⊥CD，EF⊥CD，
又AE∩EF=E，∴CD⊥平面AEF，
又CD?平面CBD，∴平面AEF⊥平面CBD．
（2）解：以E为原点，EC为x轴，EF为y轴，
过E垂直于平面BCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设CD=2，则C（1，0，0），F（0，
| ||
| 3 |
A（0，-
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| CA |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| CF |
| ||
| 3 |
设平面CAF的法向量
| n |
则
|
取y=
| 3 |
| n |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| EA |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| EC |
设平面ACE的法向量
| m |
则
|
| 3 |
| m |
| 3 |
设二面角F-AC-E的平面角为θ，
cosθ=|cos＜
| n |
| m |
| ||||
|
|
3+
| ||||||
|
7
| ||
| 61 |
∴二面角F-AC-E的余弦值为
7
| ||
| 61 |
点评：本题考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角、三角形等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力．
练习册系列答案
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如图甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，点M，N分别在线段AB、CD上，且MN⊥AB，BC=1，MB=2，∠CBM=60°，若梯形ABCD沿MN折起，使DN⊥NC，如图乙．已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1a2013=4，则由bn=log2an，所得数列{bn}的前2013项和为（ ）
| A、1 | ||
| B、2 | ||
C、
| ||
| D、2013 |