Question

函数y=a^1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny=1=0（mn＞0）上，则

2

m

+

1

n

的最小值为

3+2

2

．

Answer 1

分析：先确定定点A，利用点A在直线mx+ny=1（mn＞0）上，从而可得m+n=1，进而

2

m

+

1

n

=(

2

m

+

1

n

)(m+n)=3+

2n

m

+

m

n

，利用基本不等式，可求

2

m

+

1

n

的最小值

解答：解：∵函数y=a^1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，
∴A（1，1）
∵点A在直线mx+ny=1（mn＞0）上，
∴m+n=1
∴

2

m

+

1

n

=(

2

m

+

1

n

)(m+n)=3+

2n

m

+

m

n

∵mn＞0
∴

2n

m

＞0，

m

n

＞0
∴3+

2n

m

+

m

n

≥3+2

2

，当且仅当m=

1

3

，n=

2

3

时，取等号
∴

2

m

+

1

n

≥3+2

2

即

2

m

+

1

n

的最小值为 3+2

2

，当且仅当m=

1

3

，n=

2

3

时取得最小值
故答案为3+2

2

点评：本题重点考查基本不等式的运用，解题的关键是构建符合基本不等式的三个条件，属于基础题．