Question

15．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F
（Ⅰ）求证：AF•AB=CF•AC；
（Ⅱ）若AF=2，CF=2$\sqrt{2}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明△FCA∽△FBC，结合AB=BC，即可证明：AF•AB=CF•AC；
（Ⅱ）若AF=2，CF=2$\sqrt{2}$，利用切割线定理求出BF，即可求AC的长．

解答 （Ⅰ）证明：∵∠FCA=∠FBC，∠F=∠F
∴△FCA∽△FBC，所以$\frac{AF}{AC}=\frac{CF}{CB}$，即AF•BC=CF•AC．
又AB=BC，所以AF•AB=CF•AC．    （5分）
（Ⅱ）因为CF是圆O的切线，所以FC²=FA•FB，
又AF=2，CF=2$\sqrt{2}$，所以BF=4，AB=BF-AF=2．
由（Ⅰ）得，AC=$\sqrt{2}$．（10分）

点评 本题考查了圆的性质、三角形相似、切割线定理，属于中档题．