Question

9．已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且满足2S_n=3a_n-$\frac{1}{2}$（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄，并猜想通项公式an（不用证明）；
（2）设b_n=1+2log₃（2a_n），求证：$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知数列递推式分别取n=1、2、3、4求得a₁，a₂，a₃，a₄，并利用不完全归纳法归纳猜想通项公式；
（2）把（1）中求得的数列通项公式代入b_n=1+2log₃（2a_n），然后利用裂项相消法求和证明$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$＜$\frac{1}{2}$．

解答 （1）解：n=1时，$2{a}_{1}=3{a}_{1}-\frac{1}{2}$，得${a}_{1}=\frac{1}{2}$；
n=2时，$2（{a}_{1}+{a}_{2}）=3{a}_{2}-\frac{1}{2}$，得${a}_{2}=\frac{3}{2}$；
n=3时，$2（{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}）=3{a}_{3}-\frac{1}{2}$，得${a}_{3}=\frac{9}{2}$；
n=4时，$2（{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a}_{4}）=3{a}_{4}-\frac{1}{2}$，得${a}_{4}=\frac{27}{2}$．
猜想：${a}_{n}=\frac{{3}^{n-1}}{2}$（n∈N^*）；
（2）证明：把${a}_{n}=\frac{{3}^{n-1}}{2}$代入b_n=1+2log₃（2a_n），
得b_n=1+2log₃2a_n=2n-1，
∴$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+…+\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了裂项相消法求数列的前n项和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．