Question

设函数，．

（I）判断函数在内的单调性，并说明理由；

（II）求最大的整数，使得对所有的及都成立．

（注：.）

Answer 1

解：（I）函数的导数  

  ，              

       故在内，当为奇数时，，则函数在内单调递增；当为偶数时，，则函数在内单调递减.  

（II）注意到对任意，，                    

     由（I），对任意，

当为奇数时，；当为偶数时，.         

故当为奇数时，为偶数，，即，

而，故；                       

同理，当为偶数时，仍有.                 

所以对任意及，都有.         

又，故，即. 

因此能够使得对所有的及都成立.

再注意到，故当充分接近时，必有，

这表明不能使得对所有的及都成立.

所以为满足要求的最大整数.