Question

己知长方体的三条棱长分别为a、b、c，其外接球的半径为

（1）求长方体体积的最大值：

（2）设，求的最大值

 

Answer 1

（1）9；（2）12

【解析】

试题分析：（1）由长方体外接球直径为，即，利用三个正数的基本不等式得体积最大值；（2）由空间向量的数量积公式得，利用柯西不等式求最大值．

试题解析：(1)由题意可知 且，

由三个正数的基本不等式可得 ，

即 ，当且仅当时取等号所以

长方体体积的最大值; 5分

(2)，根据柯西不等式，有

，

， 当且仅当“”即“”时，

取得最大值12． 10分

考点：1、基本不等式；2、柯西不等式．