Question

13．已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（x-1）（a＞0且a≠1）
（1）判断函数f（x）+g（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）求使f（x）-g（2x）＞0成立的x的集合．

Answer 1

分析 （1）①要使函数f﹙x﹚+g﹙x﹚有意义，需 $\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，由此求得函数f﹙x﹚+g﹙x﹚的定义域．
②根据函数F（x）的定义域不关于原点对称，可得函数F（x）是非奇非偶函数．
（2）要解的不等式即log_a（1+x）＞log_a（2x-1），分当a＞1时 和当 0＜a＜1时两种情况，分别利用对数函数的定义域及单调性求得不等式的解集．

解答 解：（1）①∵函数f﹙x﹚=log_a（1+x），g﹙x﹚=log_a﹙x-1﹚，
要使函数f﹙x﹚+g﹙x﹚有意义，需 $\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，解得x＞1，
故函数f﹙x﹚+g﹙x﹚的定义域为（1，+∞）．
②令F（x）=f﹙x﹚+g﹙x﹚，则由①可得函数F（x）的定义域为（1，+∞），
不关于原点对称，故函数F（x）是非奇非偶函数．
（2）由f﹙x﹚-g（2x）＞0可得 log_a（1+x）＞log_a（2x-1），
当a＞1时，不等式化为1+x＞2x-1＞0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜2，故不等式的解集为（$\frac{1}{2}$，2）；
当 0＜a＜1时，不等式化为2x-1＞x+1＞0，解得 x＞2，故不等式的解集为（2，+∞）．

点评 本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，对数不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．