题目内容

设直线y=kx+ln3-1是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数k的值为
 
．
分析：设出切点的坐标，利用直线y=kx+ln3-1是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，建立方程组，即可求得实数k的值．
解答：解：设切点坐标为（a，b），则
由y=lnx，可得y′=
1
x

∵直线y=kx+ln3-1是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，
∴
1
a
=k
b=lna
b=ka+ln3-1

∴b=ln3，a=3，k=
1
3

故答案为：
1
3
点评：本题考查导数的几何意义、考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=elnx，g（x）=e-1•f（x）-（x+1）．（e=2.718…）
（1）求函数g（x）的极大值；
（2 ）求证：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln(n+1)(n∈N*)；
（3）对于函数f（x）与h（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，则称直线y=kx+b为函数f（x）与h（x）的“分界线”．设函数h(x)=
1
2
x2，试探究函数f（x）与h（x）是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出k，b的值；若不存在，请说明理由．
设曲线y=2cos2x与x轴、y轴、直线x=
π
12
围成图形的面积为b，若g（x）=ln（2x+1）-2bx2-kx在[1，+∞）上单调递减，则实数k的取值范围是
[-
4
3
，+∞)
[-
4
3
，+∞)
．

对于函数f（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意x∈R，不等式f（x）≥kx+m≥g（x）都成立，则称直线y=kx+m是函数f（x），g（x）的分界线．已知函数f（x）=ex（ax+1）（e为自然对数的底，a∈R为常数）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设f（x）=ln（1+x）-mx，试探究函数f（x）与函数（0，+∞）是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由．
已知函数f（x）=elnx，g（x）=e-1•f（x）-（x+1）．（e=2.718…）
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1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln(n+1)(n∈N*)；
（3）对于函数f（x）与h（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，则称直线y=kx+b为函数f（x）与h（x）的“分界线”．设函数h(x)=
1
2
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（Ⅱ）设f（x）=ln（1+x）-mx，试探究函数f（x）与函数（0，+∞）是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由．

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