模拟考试后.某校对甲.乙两个班的数学考试成绩进行分析.规定:不少于120分为优秀.否则为非优秀.统计成绩后.得到如下的2×2列联表.已知在甲.乙两个班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为$\frac{3}{10}$．优秀非优秀合计甲班203050乙班104050合计3070100(1)请完成上面的2×2列联表,(2)根据列联表的数据.若按97.5%的可� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．模拟考试后，某校对甲、乙两个班的数学考试成绩进行分析，规定：不少于120分为优秀，否则为非优秀，统计成绩后，得到如下的2×2列联表，已知在甲、乙两个班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为$\frac{3}{10}$．

	优秀	非优秀	合计
甲班	20	30	50
乙班	10	40	50
合计	30	70	100

（1）请完成上面的2×2列联表；
（2）根据列联表的数据，若按97.5%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？
（3）在“优秀”的学生人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中甲班学生人数ξ的分布列和数学期望．
参考公式与临界值表：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K²≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

分析（1）设乙班优秀的人数为x人，根据甲、乙两个班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为$\frac{3}{10}$列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出乙班与甲班的总人数，填写表格即可；
（2）把a，b，c，d的值代入K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，计算得到结果，即可作出判断；
（3）求出分层抽样中甲乙两班的优秀人数，确定出ξ的值，进而确定出ξ的分布列，即可求出数学期望Eξ．

解答解：（1）设乙班优秀的人数为x人，
根据题意得：$\frac{20+x}{100}$=$\frac{3}{10}$，
解得：x=10，
∴乙班总人数为10+40=50（人），甲班总人数为100-50=50（人），
填表如下：

	优秀	非优秀	合计
甲班	20	30	50
乙班	10	40	50
合计	30	70	100

故答案为：30；50；10；50；30；70；
（2）K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{100×（20×40-10×30）^{2}}{50×50×30×70}$≈4.762，
∵4.762＜5.024，
∴没有达到可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”；
（3）在抽取的6人中，甲班为$\frac{20}{30}$×6=4（人），乙班为$\frac{10}{30}$×6=2（人），
∴ξ=1，2，3，
P（ξ=1）=$\frac{{{C}_{4}^{1}C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，P（ξ=2）=$\frac{{{C}_{4}^{2}C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
即ξ的分布列为：