Question

如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面底面，且为等腰直角三角形，，为的中点．

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)求证：平面；

(Ⅲ)求二面角的正切值．

Answer 1

解法一：

(Ⅰ)取的中点，连结．   

 

，     ．      

，且，

是正三角形，．

平面．

．  

(Ⅱ)取的中点，联结，

分别为的中点，                                                                                                 

，且．

∵四边形是直角梯形，且，

且．   

∴四边形是平行四边形．                       

．                

平面，

平面．  

 (Ⅲ)取的中点，联结．

∵四边形是直角梯形且，

，．

平面，

，

是二面角的平面角．

设，则．

、分别为、中点，

．

是等腰直角三角形斜边的中点，．

，

∴二面角的正切值为．  

解法二：(Ⅰ)同解法1

(Ⅱ)

 ∵侧面底面，

又，      底面．

．

．

∴直线两两互相垂直，故可以分别以直线为轴、轴和

轴建立如图所示的空间直角坐标系．      

设，，则可求得，则

．

且，

，即．

，即．

． 

设是平面的法向量，则且．

 

取，得．     

是的中点， ．

．

．      

．                

平面，

平面．                         

 (Ⅲ)平面，

是平面的法向量，                        

  

∴二面角的正切值为．