Question

8．如图，AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=45°，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=-$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 取PC中点D，连结BD，设BD=x．利用三角形中位线定理与含有45°角的直角三角形的性质，算出∠BDC=135°，CD=PD=$\sqrt{2}$x．在△BCD中利用余弦定理，结合题中数据建立关于x的方程，解出x，从而得出PA，PC．最后利用数量积的公式加以计算，可得则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$的值

解答 解：取PC中点D，连结BD．设BD=x，
∵BD是△PAC的中位线，∴BD∥PA且BD=PA．
∵∠APB=90°，∴△PBD中，∠PBD=∠APB=90°，
∵∠BPD=45°，BD=x，∴PD=$\sqrt{2}$x，CD=PD=$\sqrt{2}$x，
△BDC中，∠BDC=∠APC=90°+450°=130°，BC=1，
由余弦定理，得BC²=BD²+CD²-2BD•CDcos∠BDC=1，
即x²+2x²-2x•$\sqrt{2}$xcos135°=1，解之得x=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即BD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴PA=2BD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，PC=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PC}$|cosAPC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{2\sqrt{10}}{5}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-$\frac{4}{5}$，
故答案为：-$\frac{4}{5}$

点评 本题给出三角形的中线与一条边垂直且与另一边成30度角，求向量的数量积．着重考查了向量数量积计算公式、三角形中位线定义及其应用、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．