Question

15．（理科）（1）证明：（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³
（2）已知f（x）=$\frac{{x}^{3}}{1-3x+3{x}^{2}}$，记f₁（x）=f（x），对任意n∈N^*，满足f_n（x）=f[f_n-1（x）]，
①求f₂（$\frac{1}{3}$）的值；    
②求f₁₀（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由（a+b）³=（a+b）²（a+b）=（a²+2ab+b²）（a+b），展开化简即可证明．
（2）①f（x）=$\frac{{x}^{3}}{1-3x+3{x}^{2}}$，可得$f（\frac{1}{3}）$=$\frac{1}{9}$，可得f₂（$\frac{1}{3}$）=f$（{f}_{1}（\frac{1}{3}））$=$f（f（\frac{1}{3}））$=$f（\frac{1}{9}）$．
②由$\frac{f（x）}{f（x）-1}$=$\frac{{x}^{3}}{{x}^{3}-3{x}^{2}+3x-1}$=$（\frac{x}{x-1}）^{3}$，利用递推关系可得：$[（\frac{x}{x-1}）^{{3}^{10}}-1]$f₁₀（x）=$（\frac{x}{x-1}）^{{3}^{10}}$，即可得出．

解答 （1）证明：∵（a+b）³=（a+b）²（a+b）=（a²+2ab+b²）（a+b）=a³+3a²b+3ab²+b³，
∴（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³，即可证明．
（2）①f（x）=$\frac{{x}^{3}}{1-3x+3{x}^{2}}$，∴$f（\frac{1}{3}）$=$\frac{1}{9}$，∴f₂（$\frac{1}{3}$）=f$（{f}_{1}（\frac{1}{3}））$=$f（f（\frac{1}{3}））$=$f（\frac{1}{9}）$=$\frac{1}{513}$．
②∵$\frac{f（x）}{f（x）-1}$=$\frac{\frac{{x}^{3}}{1-3x+3{x}^{2}}}{\frac{{x}^{3}}{1-3x+3{x}^{2}}-1}$=$\frac{{x}^{3}}{{x}^{3}-3{x}^{2}+3x-1}$=$（\frac{x}{x-1}）^{3}$，
∴$\frac{{f}_{10}（x）}{{f}_{10}（x）-1}$=$\frac{f（{f}_{9}（x））}{f（{f}_{9}（x））-1}$=$（\frac{{f}_{9}（x）}{{f}_{9}（x）-1}）^{3}$=…=$（\frac{x}{x-1}）^{{3}^{10}}$，∴$[（\frac{x}{x-1}）^{{3}^{10}}-1]$f₁₀（x）=$（\frac{x}{x-1}）^{{3}^{10}}$，
∴f₁₀（x）=$\frac{{x}^{{3}^{10}}}{{x}^{{3}^{10}}-（x-1）^{{3}^{10}}}$．

点评 本题考查了乘法公式、递推关系、函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．