Question

7．已知双曲线${x^2}-\frac{y^2}{m}=1$与抛物线y²=8x的准线交于点P，Q，抛物线的焦点为F，若△PQF是等边三角形，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{25}{9}$
• D． $\frac{16}{9}$

Answer 1

分析 由题意，x=-2，等边三角形的边长为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，将（-2，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）代入双曲线${x^2}-\frac{y^2}{m}=1$，可得方程，即可求出m的值．

解答 解：由题意，x=-2，等边三角形的边长为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
将（-2，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）代入双曲线x²-$\frac{y^2}{m}$=1，可得4-$\frac{16}{3m}$=1，
∴m=$\frac{16}{9}$，
双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{\frac{16}{9}}$=1，a²=1，b²=$\frac{16}{9}$，c²=a²+b²=$\frac{25}{9}$
双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．